Not "ex officio" in this case, as it is not by virtue of the office of the recipient, in this case a child, who has no office. It is rather that the competent authorities (Federal, in BE anyway) can decide to grant a residency permit if they judge the situation warrants it. In some countries this kind of permission is the competency of the minister (eg of immigration), I don't know exactly what it is in NL or BE.

The Belgian law 80 on foreigners (Vreemdelingenwet) says the following, distinguishing between those situations where it is upon application, and those where it is 'ambtshalve', by the decision of the authorities:

Artikel 9quater Wet 15/12/1980:

De machtiging om langer dan drie maanden in het Rijk te verblijven, wordt, op aanvraag of ambtshalve, toegekend aan de vreemdeling die zich in België bevindt, in de volgende gevallen:

1° de vreemdeling die het slachtoffer lijkt te zijn van een misdrijf van mensenhandel bedoeld in de artikelen 77 of 77bis van deze wet of in de artikelen 379 of 380bis, § 1, 1°, § 2 of § 3 van het Strafwetboek, die alle contacten met de vermoedelijke dader(s) van het misdrijf heeft verbroken en die een klacht of verklaring bij de politiedienst of het parket tegen de dader(s) ingediend heeft, voorzover het parket meedeelt dat de klacht of verklaring niet zonder gevolg werd geklasseerd, en voor zover de betrokkene zich niet bevindt in een der in artikel 3, eerste lid, 6° of 7° bedoelde gevallen

2° de vreemdeling beneden de achttien jaar die niet door een ouder of wettelijke voogd wordt vergezeld, en die nog niet het akkoord van de jeugdrechter, het comité voor bijzondere jeugdbijstand of de aangestelde voogd heeft gekregen om naar één der eerstgenoemden terug te keren

3° de vreemdeling die niet de nodige reis- of verblijfsdocumenten kan bekomen om terug te keren naar het land of de landen waar hij voor zijn aankomst in België gewoonlijk verbleef, noch naar zijn land van herkomst, noch naar het land waarvan hij de nationaliteit bezit, voor zover de betrokkene zich niet bevindt in een der in artikel 3, eerste lid, 5° tot 8°, bedoelde gevallen.

4° de vreemdeling die lijdt aan een ernstige ziekte waarvoor hij geen of onvoldoende toegang tot een adequate behandeling of verzorging heeft in een ander land dan in België. Als ernstige ziekte wordt beschouwd de aandoening die, zonder behandeling of verzorging, de dood van de persoon tot gevolg heeft, zijn levensverwachting inkort, een ernstige fysieke of psychische handicap veroorzaakt, of waarvan de behandeling veelvuldige zorgen en controles vereist of een zware therapie, of datgene wat een arts als ernstig ziek beschouwt.

5° de vreemdeling die in België duurzame bindingen heeft die enkel via een machtiging tot verblijf kunnen verder gezet worden, of die zich in een beklemmende situatie bevindt waaruit de machtiging tot verblijf de enige uitweg is, voor zover de betrokkene zich niet bevindt in een der in artikel 3, eerste lid, 5° tot 8°, bedoelde gevallen.

6° de vreemdeling die als staatloze erkend is en die geen verblijfsvergunning kan uitoefenen in het land waarvan hij de nationaliteit bezat, noch in een ander land waar hij voor zijn aankomst in België gewoonlijk verbleef

7° de vreemdeling die hetzij de erkenning als vluchteling, hetzij een toelating tot verblijf of tot vestiging op basis van artikel 10 of 40, hetzij een machtiging tot verblijf van meer dan drie maanden heeft aangevraagd zonder een beslissing over die aanvraag te hebben ontvangen binnen een termijn van drie jaar na de aanvraag waartegen geen schorsend beroep meer mogelijk is of behandeld wordt, voor zover de betrokkene zich niet bevindt in een der in artikel 3, eerste lid, 5° tot 8°, bedoelde gevallen

In al deze gevallen worden de buitengewone omstandigheden zoals bedoeld in artikel 9, lid 3 geacht vervuld te zijn.

De aanvraag tot het bekomen van de machtiging tot verblijf voor langer dan drie maanden omwille van duurzame bindingen, die wordt ingediend door een vreemdeling die zich in het buitenland bevindt, wordt eveneens toegekend indien de duurzame bindingen enkel via een machtiging tot verblijf kunnen verder gezet worden.